Metazbiory. Implementacja relacji i operacji algebraicznych

Abstract

W pracy wyłożono podstawy teorii metazbiorów oraz opisano komputerową implementację biblioteki operacji na metazbiorach wraz z przykładowymi aplikacjami demonstrującymi jej zastosowanie. Teoria metazbiorów definiuje wielowartościową relację należenia elementu do zbioru. W przeciwieństwie do teorii zbiorów rozmytych, jest ona dobrze osadzona w klasycznej teorii mnogości i jest oparta na jej elementarnych pojęciach, posługuje się podobnym językiem. Z drugiej strony, definicje podstawowych relacji i operacji na metazbiorach można wysłowić w sposób umożliwiający ich efektywna implementacje w językach programowania. Oprócz definicji relacji mnogościowych oraz operacji algebraicznych dla metazbiorów, przedstawiono ich podstawowe i najważniejsze właściwości. W szczególności wykazano, ze ciało metazbiorów jest algebrą Boole’a. Pokazano też w jaki sposób metazbiory uogólniają pewne zbiory rozmyte. Teoria metazbiorów łączy dwa odległe światy: abstrakcyjnej teorii matematycznej (silnie bazując na klasycznej teorii mnogości i jej najnowszych wynikach), oraz świat zastosowań komputerowych (poprzez definicje podstawowych pojęć nastawione na efektywność implementacji).

The dissertation introduces the basis of the theory of metasets. It also includes the computer implementation of metasets operations and sample programs demonstrating its application. The theory of metasets defines a many-valued membership relation of an element to a set. As oppose to the fuzzy set theory, it is well fitted within the classical set theory and is based on its fundamental notions; it uses a similar language. On the other hand, the definitions of basic relations and operations for metasets may be expressed in the form which enables efficient implementations in programming languages. Besides the definitions of basic set-theoretic relations and algebraic operations for metasets, their most important properties are investigated. Particularly, it is proved that the field of metasets is a Boolean algebra. Also, a method for representing some type of fuzzy sets by means of metasets is presented. The metaset theory establishes a bridge between two distant worlds: the world of a pure abstract mathematical theory (being founded on the classical set theory and making use of its contemporary achievements) and the world of machines and computer applications (by means of definitions directed towards the efficiency of implementations).